數(shù)學教科書中的應用問題
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數(shù)學教科書中應用問題
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一、數(shù)學及其應用
數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學。當代數(shù)學能夠處理科學中的數(shù)據(jù)和觀測資料，進行推理、演繹、證明，可提供自然現(xiàn)象、社會系統(tǒng)的數(shù)學模型。
數(shù)學的特點：高度抽象性、邏輯嚴密性、應用的廣泛性。
隨著社會的發(fā)展，數(shù)學的地位日益提高，應用越來越廣泛。它是人們參加社會生活、從事生產(chǎn)勞動和學習、研究現(xiàn)代科學的基礎(chǔ)；它在培養(yǎng)思維品質(zhì)，提高思維水平方面發(fā)揮著特有的作用；它的內(nèi)容、思想、方法和語言已成為現(xiàn)代文化的重要組成部分。
1959年5月，華羅庚教授在《人民日報》發(fā)表了《大哉數(shù)學之為用》一文，精彩地敘述數(shù)學在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁”等各方面的應用；進入九十年代，中國科學院數(shù)學物理學部在《今日數(shù)學及其應用》（王梓坤執(zhí)筆）一文中，對數(shù)學及其應用進行了酣暢淋漓的論述。正如該文的第一句話：“本文的目的是雙重的和互補的：一是論述數(shù)學在國富民強中的重要意義；二是通過近年來數(shù)學在我國的許多應用來證實這種意義的真實性，從而希望提高人們對數(shù)學的認識?！?/DIV>
數(shù)學科學的發(fā)展對數(shù)學課程教材的建設(shè)起著至關(guān)重要的作用。
二、數(shù)學課程改革中的“應用”
近年來，數(shù)學教育界內(nèi)的“問題解決”、數(shù)學建模等無一例外地把應用提高到一個非常高的程度，因此，正確理解“應用”就成為一個非常重要的問題。
對于“問題解決”、“大眾數(shù)學”、“數(shù)學建?！薄ⅰ皯谩钡鹊?，對于使數(shù)學課程“貼近”實際，歷史上已作了許多討論。事實上，理論與實踐相結(jié)合是數(shù)學課程教材改革的重要目標之一。在兩千多年前，數(shù)學教育就存在著著眼于實用和訓練思維的兩大目標。今天數(shù)學的內(nèi)容大大地豐富和深化了，實際應用和訓練思維的涵義也大大拓展了。歸根到底，數(shù)學教育的目的除思想教育方針之外，仍然是這兩個目標的結(jié)合。數(shù)學就自身發(fā)展來說，始終是理論與實踐密切結(jié)合一門科學。
綜觀數(shù)學教育史，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學教學總是具有很強職業(yè)成分，只是隨著中學和大學的學院化，數(shù)學和現(xiàn)實的聯(lián)系才被忽視，但是如何人教“應用”和運用“現(xiàn)實生活”例子為數(shù)學教學服務仍有待研究。應用在數(shù)學教學中可以有許多解釋，有些人為的，非現(xiàn)實生活的例子，也可能有重要的教育價值，能養(yǎng)成學生應用數(shù)學的技能，不能一概否定；還有一類傳統(tǒng)的例子是過分“現(xiàn)實”的，是直接從職業(yè)中拿出來的，如儲蓄、稅收等，這就有一個誰的“現(xiàn)實”的問題。這些例子只是社會的一些特殊需要，不足取。就算排除了這類實例，還會有多種形式體現(xiàn)“應用”。比如，守門員如何占位才能縮小對手的射門角度？這些問題把數(shù)學與實際情境聯(lián)系在一起，對一些學生有吸引力，但并不是真用數(shù)學解決問題，沒有哪個球員會這樣去計算他們站立的位置。數(shù)學的應用主要不在于這樣的“應用”，更重要的是，這種“聯(lián)系”不可能總是結(jié)合學生的“現(xiàn)實”的，正如卡爾松說的“現(xiàn)實是主體和時間的函數(shù)，對我是現(xiàn)實的，對別人未必是現(xiàn)實的，在過去是現(xiàn)實的，現(xiàn)在不一定再是現(xiàn)實的了”?？梢娨拐n程有“應用”性是既復雜，又有待長期解決的問題。
前面說的都是用來為數(shù)學教學服務的“現(xiàn)實”例子，當數(shù)學為現(xiàn)實服務時，情況就完全不同了，它是完全不同的一種例子，它是用數(shù)學去描述、理解和解決學生熟悉的社會現(xiàn)實問題，這種問題不僅有社會意義，而且不局限于單一的數(shù)學，還要用到學生多方面的知識。
著名數(shù)學教育家弗蘭登塔爾曾對數(shù)學教學表示了憂慮，他認為，數(shù)學教學應講授從豐富的現(xiàn)實情境中抽象出這些結(jié)構(gòu)的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程。學習是指形成這種系統(tǒng)化的數(shù)學活動過程，而不是系統(tǒng)化的最后結(jié)果。因為系統(tǒng)化的最后結(jié)果是一個系統(tǒng)，是一個漂亮的封閉系統(tǒng)，甚至封閉到?jīng)]有入口和出口……學生所要學習的不是作為一個封閉系統(tǒng)的數(shù)學，而是作為一項人類活動的數(shù)學，即從現(xiàn)實生活出發(fā)的數(shù)學化過程。如果需要，也可以包括從數(shù)學本身出發(fā)的數(shù)學化過程。學生應該形成一個相對開放的系統(tǒng)，至少是一個既有入口又有出口的封閉系統(tǒng)。
“問題解決”恰恰反映了“入口”和“出口”問題，即從現(xiàn)實情景（“入口”）出發(fā)，這里所說的現(xiàn)實情景，既包括客觀的世界和現(xiàn)實的生活，又包括學生的數(shù)學現(xiàn)實。事實上，這是應用的一個非常重要的方面。所謂“出口”，是指數(shù)學知識應用到現(xiàn)實情景中去。我們所說的應用，不僅僅是解決出口問題，更重要的是解決入口問題，即從現(xiàn)實情景引入數(shù)學，讓學生隨時隨地都感到數(shù)學就在我身邊。
我國的一些數(shù)學教育工作者提出的“掐頭去尾燒中段”與“入口”和“出口”的觀點可以說不謀而和，他們都強調(diào)數(shù)學學習的一個完整過程，要了解數(shù)學的來龍去脈。
強調(diào)數(shù)學應用現(xiàn)已成為各國數(shù)學課程教材改革的共同特點，在數(shù)學課程、教科書中更加重視應用。在處理數(shù)學內(nèi)容時，更多地遵循“實際問題→數(shù)學概念→實際問題”這個模式來展開。許多教科書面向現(xiàn)實，數(shù)學知識的引入以閱讀材料的方式出現(xiàn)。這些材料內(nèi)容廣泛，形式各異，圖文并茂，有生動具體的現(xiàn)實問題，有讓人著迷的數(shù)學史，有發(fā)人深思的懸念，也有尚未解決的各種實際問題，還有現(xiàn)代數(shù)學及其應用的最新發(fā)展等。教科書中每節(jié)后，還安排大量與現(xiàn)實世界結(jié)合并帶有挑戰(zhàn)性的問題，供學生討論、思考和實踐，并對每一問題在題首注明數(shù)學知識被應用的領(lǐng)域（例如天文、建筑、管理、經(jīng)濟、物理、化學等），讓學生充分感受數(shù)學與其他學科和科學之間的聯(lián)系。
總之，數(shù)學教育改革中對于應讓學生認識有關(guān)知識的來龍去脈已形成共識。
《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱（試驗修訂版）》（以下簡稱《大綱》）進一步突出了理論聯(lián)系實際，加強應用。“培養(yǎng)解決實際問題的能力，并逐步形成數(shù)學創(chuàng)新意識”是高中數(shù)學的教目的之一。
解決實際問題的能力是指：會提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關(guān)學科、生產(chǎn)和生活中的數(shù)學問題；會使用數(shù)學語言表達問題、進行交流，形成用數(shù)學的意識。
數(shù)學創(chuàng)新意識主要是指：對自然界和社會中的數(shù)學現(xiàn)象具有好奇心，不斷追求新知，獨立思考，會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，加以探索和研究。
《大綱》在“教學內(nèi)容和目標”“教學中需注意的幾個問題”等處，對應用數(shù)學知識解決實際問題只做了原則性的說明?！洞缶V》中規(guī)定的教學內(nèi)容和教學要求由教科書、教師的教學、學生的學習等多種渠道來體現(xiàn)，教科書如何更好地貫徹大綱中的“應用”，對編者來說，有一個再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程。
我們認為，數(shù)學應用不僅包括人們常講的用數(shù)學的結(jié)論，用數(shù)學的方法，用數(shù)學的思想，還包括用數(shù)學的語言，用數(shù)學的觀念，用數(shù)學的精神。因此，強調(diào)數(shù)學課程教材中的應用，并不是僅僅通過“增加一些有用的數(shù)學內(nèi)容”，，“在例題和習題中增加一些應用題”，而是要在教材設(shè)計、編排體系等方面做更深層次的考慮。
三、高中數(shù)學教科書中的“應用”
下面以《全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本）數(shù)學第一冊（上）為例》，對“應用”進行具體的分析：
1．教學內(nèi)容的選取
知識點：函數(shù)的應用舉例。實習作業(yè)。等差數(shù)列及其通項公式。等差數(shù)列前n項和公式。等比數(shù)列及其通項公式。等比數(shù)列前n項和公式。
研究性課題：數(shù)列在分期付款中的應用
教學目標：
能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題。
實習作業(yè)已函數(shù)應用為內(nèi)容，培養(yǎng)學生應用函數(shù)知識解決實際問題的能力。
理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題。
理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題。
毋庸諱言，現(xiàn)在的數(shù)學教科書主要是以數(shù)學知識為中心，進行教材的設(shè)計；數(shù)學的組織基本上以數(shù)學學科的內(nèi)在邏輯順序為主線。
2．教學內(nèi)容的處理
?。?）正文：“2.2函數(shù)一節(jié)中”
例5在國內(nèi)投寄外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g而不超過40g付郵資160分，依此類推，試建立平信應付郵資（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，并畫出圖象。
這是幾乎每個人在現(xiàn)實生活中都會遇到的問題，也即現(xiàn)實情境（問題情境），建立函數(shù)關(guān)系式（數(shù)學模型）：
當郵寄35g的外埠平信時，從圖象中可以看出，應付160分的郵資（應用到現(xiàn)實情境中去）。
這是一個比較簡單的“數(shù)學建?！边^程：問題情境→建立模型→解釋與應用?？梢哉f，在一定程度上，“數(shù)學建?！笔箲酶F(xiàn)實化。學生看到數(shù)學如何才能應用到真正的“現(xiàn)實生活”問題中，并且渴望獲得進一步學習的動力，會自然地尋找“數(shù)學建模”的機會。
在解決實際問題中，“會使用數(shù)學語言表達問題、進行交流，形成用數(shù)學的意識”是應用的一個重要的方面。從上例中可以看出，在建立數(shù)學模型的過程中，自然經(jīng)歷自然語言、數(shù)學語言（函數(shù)關(guān)系式）、圖形語言（函數(shù)圖象）相互轉(zhuǎn)化的過程。
(2）閱讀材料自由落體運動的數(shù)學模型
該閱讀材料結(jié)合典型事例，詳細地介紹了數(shù)學模型的概念、數(shù)學模型建立過程，以及利用數(shù)學模型方法解決問題的基本步驟。
?。?）研究性課題：數(shù)列在分期付款中的作用
研究性課題主要是指對某些數(shù)學問題的深入探討，或者從數(shù)學角度對某些日常生活和其他學科中出現(xiàn)的問題進行研究。充分地體現(xiàn)學生的自主活動和合作活動。研究性課題應以所學的數(shù)學知識為基礎(chǔ)，并且密切結(jié)合生活和生產(chǎn)實際?？梢詭熒詳M課題。提倡教師和學生自己提出問題。
四、應注意的幾個問題
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單就出口而言，有以下幾個層次：
1．在數(shù)學學科本身的應用。
由于數(shù)學學科本身具有邏輯嚴密的特點，前面知識的學習為學習后面的知識做準備。換句話說，前面的知識要應用到后面知識的學習中。
2．在其他相關(guān)學科的應用，特別是物理及工程技術(shù)中的應用。
3．應用到現(xiàn)實情境中去
由于高中學生學習的知識畢竟還是有限的，他們用數(shù)學知識解決的現(xiàn)實問題，與應用數(shù)學家所面臨的現(xiàn)實問題相比，充其量是個“準數(shù)學問題”，至少是“半數(shù)學化”的問題，是一個經(jīng)過人為加工的“數(shù)學半成品”。
4．發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題這四者之間，能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，這是要求最高的。能夠解決已經(jīng)“數(shù)學化”了的問題，對學生來講，是個技能化的過程。而能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題則是一個能力問題。
5．數(shù)學語言的靈活運用是應用的最高層次，特別是自然語言、數(shù)學語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化，以及用數(shù)學語言進行交流。
（二）應用與基礎(chǔ)知識的關(guān)系
對高中學生來講，掌握數(shù)學的基礎(chǔ)知識應該是教學的首要目標，應用是以掌握數(shù)學知識為前提的。應用不僅僅是目的，更重要的是過程，即我們不僅要使學生樹立起數(shù)學應用意識，認識到數(shù)學的廣泛應用性特點和應用價值，具備應用數(shù)學解決實際問題的規(guī)律性認識和操作性能力，而且還要切切實實讓學生在應用數(shù)學中掌握基礎(chǔ)知識和數(shù)學方法，學會使用數(shù)學語言，并受到數(shù)學文化的熏陶。很難想象，沒有扎實的基礎(chǔ)知識，談何應用？
（三）應用與計算機（器）
計算機（器）的普及，為數(shù)學的應用提供了先進的計算工具，更便于處理實際數(shù)據(jù)，使應用問題更加真實，切合實際；良好的演示平臺，使數(shù)學應用有了廣闊的空間，計算機能夠把靜態(tài)的變成動態(tài)的，把抽象的東西具體化，直觀化，使人們的思維能夠得到一定程度的延伸。
?。ㄋ模臄?shù)學學習和數(shù)學活動看“應用”
數(shù)學不同于其他自然科學，它具有逐級抽象的特點。從客觀實際、現(xiàn)實世界中的抽象只是數(shù)學的低級抽象；脫離具體事和物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學研究的對象是數(shù)學的高級抽象。高級抽象是在低級抽象基礎(chǔ)上的進一步抽象，它的研究對象是一種形式化的思想材料，是經(jīng)過人加工了的思想，是人對自然界的概括和認識。數(shù)學的逐級抽象性的特點，說明了學生學習過程中思維發(fā)展的不同階段和水平，因而數(shù)學的學習活動也是分層次的。學習的最低層次是數(shù)學的組織：通過學生自己的猜測、探索，從現(xiàn)實問題情景中提煉數(shù)學問題，發(fā)現(xiàn)問題及其規(guī)律，對問題有整體理解，這是學生數(shù)學地組織經(jīng)驗材料的活動層次；學習的第二個層次是將數(shù)學問題組織成原理，并用數(shù)學語言模式去描繪原理。即通過對脫離具體事和物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學研究，構(gòu)筑抽象理論意義的數(shù)學原理。這是學生組織經(jīng)驗領(lǐng)域的活動，是進一步抽象概括數(shù)學材料并提煉數(shù)學原理的過程；第三個層次是數(shù)學原理的驗證、推廣階段。如果說前兩個層次是“發(fā)現(xiàn)”原理的過程，那么這個層次就是驗證推廣的階段。驗證的過程實際是將“發(fā)展”的結(jié)果演繹推理的形式系統(tǒng)化、邏輯化的過程；最后一個層次是反省上述學習過程，將抽象結(jié)果應用于實際，用以指導現(xiàn)實生活。此層次的反省活動，是對前述認識過程的進一步認識，是對前述學習過程的反思，對整個學習過程起到調(diào)節(jié)和監(jiān)控作用。斯托利亞爾認為，數(shù)學活動可分為三個階段：經(jīng)驗材料的數(shù)學組織化、數(shù)學材料的邏輯組織化、數(shù)學理論的應用。這三個階段構(gòu)成了學生學習活動的完整過程，忽視甚至丟棄哪個階段的做法都是不對的。學生親自感受和經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學的過程，也就是數(shù)學再創(chuàng)造的過程，唯有以再創(chuàng)造的方式進行數(shù)學學習，將知識的發(fā)生發(fā)展過程理清，才能在數(shù)學上向趨向成熟的下一階段邁進。傳統(tǒng)的數(shù)學課程只是按照以形式化了的現(xiàn)成的數(shù)學規(guī)則去操作數(shù)學?，F(xiàn)在的數(shù)學課程強調(diào)了經(jīng)驗材料的數(shù)學組織和數(shù)學的應用。
“應用”是一個非常大的話題，不但是課程教材改革的問題，而且還涉及教學、學習、評價（考試）等等。筆者認為，“應用”最主要的是教學思想的問題，即在教學中培養(yǎng)學生的應用意識，從“出口”著眼，從“入口”著手。課程教材和評價（考試）只是培養(yǎng)學生應用意識過程的一個必不可少的環(huán)節(jié)，更重要的是要在平時的教學中去實現(xiàn) |