數(shù)學(xué)思維能力及培養(yǎng)

一、數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思維能力的含義

數(shù)學(xué)思維是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等）的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律的間接反映，并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動(dòng)。

數(shù)學(xué)思維能力主要包括四個(gè)方面的內(nèi)容：

1．會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；

2．會(huì)用歸納、演繹和類(lèi)比進(jìn)行推理；

3．會(huì)合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)；

4．能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)。

新課標(biāo)指出：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律。數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨(dú)特的作用。新課標(biāo)確立了知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三位一體的課程目標(biāo)，將素質(zhì)教育的理念體現(xiàn)在課程標(biāo)準(zhǔn)之中。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、親身實(shí)踐、獨(dú)立思考、合作探究，從而實(shí)現(xiàn)向?qū)W習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，發(fā)展學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析解決問(wèn)題的能力，以及交流與合作的能力。

新課標(biāo)關(guān)注的是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，它包括：數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問(wèn)題、情感與態(tài)度，注重學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、學(xué)科知識(shí)和社會(huì)發(fā)展三方面內(nèi)容的整合，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。

二、學(xué)生數(shù)學(xué)思維受阻的原因

根據(jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，參考有關(guān)資料，我認(rèn)為學(xué)生思維受阻的主要原因有以下幾點(diǎn)：

1．?dāng)?shù)學(xué)思想方法缺乏。

由于學(xué)習(xí)方法的缺乏而嚴(yán)重制約學(xué)生的有效思維的狀況普遍存在。華東師大二附中的四位學(xué)生對(duì)高一學(xué)生的調(diào)查表明，在常用的數(shù)學(xué)思想方法中，初中學(xué)生掌握得最好的是方程思想，知道并會(huì)應(yīng)用的占84.02%，觀察與試驗(yàn)的方法、類(lèi)比與聯(lián)想的方法知道并會(huì)運(yùn)用的分別占25.68%和24.52%，不知道的分別占42.02%和34.44%。重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生如此，一般學(xué)校可想而知。我部本學(xué)期在初三、初四年級(jí)開(kāi)設(shè)的“學(xué)法講座”深受學(xué)生歡迎。

2．學(xué)習(xí)目標(biāo)確定不當(dāng)。

比如，一份調(diào)查顯示，學(xué)生對(duì)于自己“在初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求”選擇“名列前茅”的占79.18%，選擇“中等水平”的占17.45%。而對(duì)自己在高中階段選擇“名列前茅”的占45.46%，選擇“中等水平”的占47.05%。許多學(xué)生考上高中后，便想喘口氣，放松一下學(xué)習(xí)節(jié)奏。在高一學(xué)生中，回答“你對(duì)學(xué)習(xí)的感覺(jué)”時(shí)，感到困難的占52%，一部分學(xué)生選擇了降低要求的方法，認(rèn)為自己目前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)“良好”的僅占24.06%，認(rèn)為“一般”的占57.44%，認(rèn)為“較差”的占18.5%。學(xué)習(xí)要求的降低，影響了學(xué)習(xí)效果，使得數(shù)學(xué)思維發(fā)展的速度無(wú)法加快。

3．思維惰性造成思維模糊。

一份在“遇到難題的處理方式”的調(diào)查中，選擇“等老師講解”的占12%，選擇“問(wèn)同學(xué)或問(wèn)老師”的占52%，選擇“繼續(xù)思考”的只有16%，選擇“等以后再解決”的占20%。思維指向模糊主要表現(xiàn)在對(duì)關(guān)鍵信息感知把握不準(zhǔn)，思維指向性模糊，出思維的惰性。觀察只停滯在感知表象中，即使撞上關(guān)鍵信息，也不能加工形成有價(jià)值的反饋信息，致使思路受阻，從而懶于動(dòng)腦，久而久之，養(yǎng)成了思維的惰性。這是學(xué)生思維障礙的最普遍原因。

4．思維慣性造成思維機(jī)械。

思維的慣性常伴隨著思維的惰性而存在。一份問(wèn)卷調(diào)查資料中，有30%的同學(xué)在回答“解題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因”選擇了“審題不清”這一項(xiàng)。學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時(shí)，常尚未看清題意，見(jiàn)術(shù)語(yǔ)，便羅列公式，生搬硬套；見(jiàn)數(shù)據(jù)，便代入演算，拼湊解答等。

5．思維線性造成思維中斷。

在一份問(wèn)卷調(diào)查中，回答“經(jīng)常出現(xiàn)思維的方向性錯(cuò)誤”的學(xué)生占了50%，他們由于思維的單一性，呈線性狀態(tài)，導(dǎo)致思維過(guò)程常常中斷而受阻。

6．各學(xué)段的銜接不當(dāng)。

主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：（1）節(jié)奏變化。就一節(jié)課的知識(shí)容量而言，初中遠(yuǎn)比不上高中，因而在講解中就有快慢和粗細(xì)之分。這一快一慢，一粗一細(xì)兩對(duì)矛盾就很容易將初中與高中阻隔，產(chǎn)生兩極分化，使初高中難以得到系統(tǒng)的響應(yīng)，從而影響學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。華東師大二附中的調(diào)查：認(rèn)為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)節(jié)奏比初中快的占82.17%，而覺(jué)得慢的同學(xué)僅占5.5%。（2）教學(xué)方法的差異。有48.07%的學(xué)生認(rèn)為初中數(shù)學(xué)課大部分由老師講解，小部分由學(xué)生練習(xí)，認(rèn)為初中重視學(xué)生討論與自學(xué)的僅占9.2%。這表明初中學(xué)生討論與自學(xué)的這一學(xué)習(xí)方法并沒(méi)有得到充分的培養(yǎng)，沒(méi)有發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。在高中，認(rèn)為上課大部分由老師講解的降低到27.34%，認(rèn)為討論與練習(xí)相當(dāng)?shù)膭t升至37.84%。（3）教材因素導(dǎo)致初高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)脫節(jié)。華東師大二附中的調(diào)查中，有49.63%的市、區(qū)重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生認(rèn)為“對(duì)所需的初中知識(shí)感到略能運(yùn)用，但還有些困難”，而感到需要補(bǔ)充初中知識(shí)點(diǎn)的占20.53%，對(duì)所需初中知識(shí)能運(yùn)用自如的不到30%。

7．評(píng)價(jià)機(jī)制本身的不完善或評(píng)價(jià)機(jī)制貫徹的不完全。

主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：（1）不考的不學(xué)。華東師大二附中學(xué)生的調(diào)查表明，初中數(shù)學(xué)教師對(duì)“中考不考，可以省略”的態(tài)度中，偶爾說(shuō)的占50.57%，經(jīng)常說(shuō)的占21.18%。（2）評(píng)價(jià)方式單一。無(wú)論對(duì)老師還是學(xué)生，往往都是以學(xué)科考試成績(jī)作為主要指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)。（3）考試導(dǎo)向的偏差。我認(rèn)為用考試的方法進(jìn)行評(píng)價(jià)本身并沒(méi)錯(cuò)，問(wèn)題是考試（命題）本身的導(dǎo)向是否正確。

三、如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

1．找準(zhǔn)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的突破口。

心理學(xué)家認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的突破口。思維品質(zhì)包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和創(chuàng)造性，它們反映了思維的不同方面的特征，因此在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該有不同的培養(yǎng)手段。

思維的深刻性既是數(shù)學(xué)的性質(zhì)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)既要以學(xué)生為基礎(chǔ)，又要培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性。數(shù)學(xué)思維的深刻性品質(zhì)的差異集中體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異，教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性，實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)教育學(xué)生學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)會(huì)全面地思考問(wèn)題，養(yǎng)成追根究底的習(xí)慣。

數(shù)學(xué)思維的敏捷性主要反映了正確前提下的速度問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面可以考慮訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算速度，另一方面要盡量使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)，提高所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象程度。因?yàn)樗莆盏闹R(shí)越本質(zhì)、抽象程度越高，其適應(yīng)的范圍就越廣泛，檢索的速度也就越快。另外，運(yùn)算速度不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解程度的差異，而且還有運(yùn)算習(xí)慣以及思維概括能力的差異。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)時(shí)刻向?qū)W生提出速度方面的要求，使學(xué)生掌握速算的要領(lǐng)。

為了培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性，應(yīng)當(dāng)增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的變化性，為學(xué)生提供思維的廣泛聯(lián)想空間，使學(xué)生在面臨問(wèn)題時(shí)能夠從多種角度進(jìn)行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。教學(xué)實(shí)踐表明，變式教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性有很大作用。如在概念教學(xué)中，使學(xué)生用等值語(yǔ)言敘述概念；數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，要求學(xué)生掌握公式的各種變形等，都有利于培養(yǎng)思維的靈活性。

創(chuàng)造性思維品質(zhì)的培養(yǎng)，首先應(yīng)當(dāng)使學(xué)生融會(huì)貫通地學(xué)習(xí)知識(shí)，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣。在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，還要啟發(fā)學(xué)生積極思考，使學(xué)生多思善問(wèn)。能夠提出高質(zhì)量的問(wèn)題是創(chuàng)新的開(kāi)始。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生提出不同看法，并引導(dǎo)學(xué)生積極思考和自我鑒別。新的課程標(biāo)準(zhǔn)和教材為我們培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維開(kāi)辟了廣闊的空間。

批判性思維品質(zhì)的培養(yǎng)，可以把重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生檢查和調(diào)節(jié)自己的思維活動(dòng)過(guò)程上。要引導(dǎo)學(xué)生剖析自己發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的過(guò)程；學(xué)習(xí)中運(yùn)用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它們的合理性如何，效果如何，有沒(méi)有更好的方法；學(xué)習(xí)中走過(guò)哪些彎路，犯過(guò)哪些錯(cuò)誤，原因何在。

2．教會(huì)學(xué)生思維的方法

現(xiàn)代教育觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，即思維活動(dòng)的教學(xué)。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，養(yǎng)成良好思維品質(zhì)是教學(xué)改革的一個(gè)重要課題。孔子說(shuō)：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要使學(xué)生思維活躍，就要教會(huì)學(xué)生分析問(wèn)題的基本方法，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的正確思維方式。要學(xué)生善于思維，必須重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的學(xué)習(xí)，沒(méi)有扎實(shí)的雙基，思維能力是得不到提高的。

數(shù)學(xué)概念、定理是推理論證和運(yùn)算的基礎(chǔ)。在教學(xué)過(guò)程中要提高學(xué)生觀察分析、由表及里、由此及彼的認(rèn)識(shí)能力；在例題課中要把解（證）題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程作為重要的教學(xué)環(huán)節(jié)，僅要學(xué)生知道該怎樣做，還要讓學(xué)生知道為什么要這樣做，是什么促使你這樣做，這樣想的；在數(shù)學(xué)練習(xí)中，要認(rèn)真審題，細(xì)致觀察，對(duì)解題起關(guān)鍵作用的隱含條件要有挖掘的能力，會(huì)運(yùn)用綜合法和分析法，并在解（證）題過(guò)程中盡量要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)。

此外，還應(yīng)加強(qiáng)分析、綜合、類(lèi)比等方法的訓(xùn)練，提高學(xué)生的邏輯思維能力；加強(qiáng)逆向應(yīng)用公式和逆向思考的訓(xùn)練，提高逆向思維能力；通過(guò)解題錯(cuò)、漏的剖析，提高辨識(shí)思維能力；通過(guò)一題多解（證）的訓(xùn)練，提高發(fā)散思維能力等。

3．善于調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)在的思維能力

一要培養(yǎng)興趣，讓學(xué)生迸發(fā)思維。教師要精心設(shè)計(jì)，使每節(jié)課形象、生動(dòng)，并有意創(chuàng)造動(dòng)人情境，設(shè)置誘人懸念，激發(fā)學(xué)生思維的火花和求知的欲望，還要經(jīng)常指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解釋自己所熟悉的實(shí)際問(wèn)題。

二要分散難點(diǎn)，讓學(xué)生樂(lè)于思維。對(duì)于較難的問(wèn)題或教學(xué)內(nèi)容，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)分解，減緩坡度，分散難點(diǎn)，創(chuàng)造條件讓學(xué)生樂(lè)于思維。

三要鼓勵(lì)創(chuàng)新，讓學(xué)生獨(dú)立思維。鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度去觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣和品質(zhì)；鼓勵(lì)學(xué)生敢于發(fā)表不同的見(jiàn)解，多贊揚(yáng)、肯定，促進(jìn)學(xué)生思維的廣闊性發(fā)展