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        《離散數(shù)學(xué)》(1)集合及其運(yùn)算

        發(fā)布人: 日期:2012-03-14 00:00瀏覽次數(shù):3155點(diǎn)贊次數(shù):0
        湛江開大,湛江開放大學(xué),湛江市財(cái)政職業(yè)技術(shù)學(xué)校,湛江市廣播電視大學(xué),湛江電大,中專教育,中職教育,成人教育,成人大專,成人本科,官網(wǎng),教育部電子注冊(cè),國(guó)際學(xué)歷綠卡。湛江開放大學(xué)(湛江市廣播電視大學(xué))辦學(xué)三十年來(lái)...
        第3章  集合及其運(yùn)算
         
              集合在中學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過,而且在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中也曾遇到,這里只是多了一個(gè)冪集的概念,著重對(duì)冪集合的理解,一是掌握冪集合的構(gòu)成,二是冪集合的元數(shù)為2n,其中n是集合的元數(shù)。
         
        一、教學(xué)基本要求
               1. 理解集合、元素、全集合、空集合、集合的元數(shù)和冪集等概念。
               2. 理解集合的包含、子集和相等等概念,熟練掌握集合的表示方法和集合的并、交、補(bǔ)、差和對(duì)稱差等運(yùn)算,會(huì)用文氏圖表示集合的各種運(yùn)算。
               3. 掌握集合運(yùn)算的基本規(guī)律,掌握用集合運(yùn)算基本規(guī)律證明集合恒等式的方法。
               4. 了解有序?qū)偷芽▋悍e的概念,會(huì)作笛卡兒積的運(yùn)算。
            本章重點(diǎn):集合概念,集合的運(yùn)算,集合恒等式的證明。笛卡兒積。
         
               二、學(xué)習(xí)輔導(dǎo)
               本章重點(diǎn)輔導(dǎo)四個(gè)問題:集合的概念,集合的運(yùn)算,集合集合恒等式的證明和笛卡兒積。
               1. 集合的概念
               有如下知識(shí)點(diǎn):
               ·集合,元素,集合的元數(shù);
               ·集合的表示方法:列舉法和描述法;
               ·特殊集合:全集合E,空集合Æ,
               ·集合的關(guān)系:包含,子集,集合相等,冪集。
               在集合概念部分要特別注意:元素與子集,子集與冪集,Î與Ì(Í),空集Æ與所有集合等的關(guān)系。
         
               例3.1 已知S={2,a,{3},4},R={{a},3,4,1},指出下列命題的真值。
               (1) {a}ÎS;                (2) {a}ÎR;
               (3) {a,4,{3}}ÍS;           (4) {{a},1,3,4}ÍR;
               (5) R=S;                  (6) {a}ÍS;
               (7) {a}ÍR;                (8) ÆÌR;
               (9) ÆÍ{{a}}ÍR;           (10) {Æ}ÍS;
               (11) ÆÎR;                (12) ÆÍ{{3},4}.
               集合S有四個(gè)元素組成:2,a,{3},4,而元素{3}又是集合。集合R類似。
               (1) {a},這是單元素的集合,{a}不是集合S的元素。故命題A:{a}ÎS的真值為0;
               (2) {a}是R的元素,故命題B:{a}ÎR的真值為1。
               (3) a,4,{3}都是集合S的元素,它們可以構(gòu)成S的子集。故命題C:{a,4,{3}}ÍS的真值為1.
               (4) {a},1,3,4都是R的元素,它們可以構(gòu)成R的子集,故命題D:{{a},1,3,4}ÍR的真值為1。
               注意:列舉法表示的集合的元素,把所有元素全列出來(lái),放在圓括號(hào)內(nèi),在圓括號(hào)內(nèi)的順序可任意。
               (6)和(8),(9)和(12)相應(yīng)題號(hào)的命題,其真值為1;而(5),(7),(10),(12)相應(yīng)題號(hào)的命題,其真值為0。
         
            2. 集合的運(yùn)算
               集合的運(yùn)算有并、交、補(bǔ)、差、對(duì)稱差,當(dāng)然應(yīng)該很好地掌握。由這些運(yùn)算,派生出10條運(yùn)算律(即運(yùn)算的性質(zhì)),即交換律、結(jié)合律、分配律、冪等律、同一律、零律、補(bǔ)余律、吸收律、摩根律和雙補(bǔ)律等。
               集合的運(yùn)算部分有三個(gè)方面的問題:其一是進(jìn)行集合的運(yùn)算;其二是集合運(yùn)算式的化簡(jiǎn);其三是集合恒等式的推理證明。
               集合恒等式證明的目的有兩個(gè),一是通過證明的練習(xí),加深對(duì)集合性質(zhì)和第1章命題公式基本等值式的理解和掌握;一是為第8章學(xué)習(xí)布爾代數(shù)中部分性質(zhì)的應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。
               集合恒等式的證明方法通常有二:其一,要證明A=B,就需要證明AÍB;在證明AÊB。
        其二,通過運(yùn)算律進(jìn)行等式推導(dǎo)。   
         
               3. 有序?qū)εc笛卡兒積
               有序?qū)褪怯许樞虻臄?shù)組,如<x,y>,x,y 的位置是確定的,不能隨意放置。
               注意:有序?qū)?A,B>¹,以a,b為元素的集合{a,b}={b,a};有序?qū)?a,a)有意義,而集合{a,a}不成立,因?yàn)樗皇菃卧丶?,?yīng)記作{a}。
               笛卡兒積是一種集合合成的方法,把集合A,B合成集合A×B,規(guī)定
               A×B={½xÎA,yÎB}由于有序?qū)?X,Y>中x,y的位置是確定的,因此A×B的記法也是確定的,不能寫成B×A。       h笛卡兒積也可以多個(gè)集合合成,A1×A2×…×An
               h笛卡兒積的運(yùn)算性質(zhì)。
         
               例3.7 設(shè)集合 A={a,b},B={1,2,3},C=usn3muzmj,求A×B×C,B×A。
               先計(jì)算A×B={,,,,,}
                      A×B×C={,,,,,}×usn3muzmj
                              ={<,d>,<,d>,<,d>,<,d>,<,>,<,d>}
                          B×A={<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}
         
           
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